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Oct 11, 2023

Ein Student hat gerade ein notorisch unmögliches Mathematikproblem gelöst

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Ein Mathematiker hat vielleicht gerade das Unmögliche möglich bewiesen.

30 Jahre lang fragten sich Mathematiker, ob es eine unendliche Menge von Zahlen geben könnte, bei der jedes Zahlenpaar einen eindeutigen Wert ergibt, und dass diese Werte jeweils ziemlich groß sein könnten.

Im März löste ein Doktorand der Universität Oxford schließlich das Problem, indem er sich einer unwahrscheinlichen Lösung zuwandte: der Geometrie.

Im Jahr 1993 stellte der ungarische Mathematiker Paul Erdős – einer der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts – eine Frage mit zwei Komponenten, die scheinbar im Widerspruch zueinander standen: Könnte eine Sidon-Menge eine „asymptotische Basis dritter Ordnung“ sein?

Lassen Sie es uns erklären.

Benannt nach einem anderen ungarischen Mathematiker, Simon Sidon, sind diese Mengen im Grunde eine Sammlung von Zahlen, bei der keine zwei Zahlen in der Menge die gleiche ganze Zahl ergeben. Wenn beispielsweise in der einfachen Sidon-Menge (1, 3, 5, 11) eine der beiden Zahlen in der Menge addiert wird, ergeben sie eine eindeutige Zahl. Die Konstruktion einer Sidon-Menge mit nur vier Zahlen ist extrem einfach, aber mit zunehmender Größe der Menge wird es immer schwieriger. Sobald zwei Summen gleich sind, gilt die Zahlensammlung nicht mehr als Sidon-Menge.

Das zweite Element von Erdős' Problem – dieser beängstigend klingende Teil der „asymptotischen Basis dritter Ordnung“ – bedeutet Folgendes:

Eine Menge muss unendlich groß sein

Jede ausreichend große Ganzzahl kann als Ergebnis der Addition von höchstens drei Zahlen in der Menge geschrieben werden.

Dieses 30 Jahre alte Rätsel drehte sich also um die Frage, ob diese beiden Elemente in derselben Zahlenmenge existieren könnten oder nicht. Jahrzehntelang schien die Antwort Nein zu sein.

Doch im März dieses Jahres veröffentlichte der Oxford-Doktorand Cédric Pilatte einen Beweis, der die Existenz einer solchen Sidon-Menge bestätigte. Es war nicht einfach, diesen Meilenstein zu erreichen. Im Jahr 2010 bewiesen Mathematiker, dass eine Sidon-Menge eine asymptotische Basis der Ordnung 5 sein kann, und drei Jahre später bewiesen sie, dass es für eine Sidon-Menge auch möglich ist, „eine asymptotische Basis der Ordnung 4“ zu sein. Aber „Ordnung 3“ blieb schwer fassbar – einige hielten es für theoretisch möglich, aber unglaublich schwierig (und möglicherweise unmöglich), sie zu beweisen.

„Sie ziehen in entgegengesetzte Richtungen“, sagte Pilatte gegenüber dem Quanta Magazine. „Sidon-Mengen müssen klein sein, und eine asymptotische Basis muss groß sein. Es war nicht offensichtlich, dass es funktionieren könnte.“

Wie hat Pilatte also einen mathematisch quadratischen Stift so hinbekommen, dass er in ein scheinbar rundes Loch passt? Er wählte einen unkonventionellen Ansatz und wandte sich der Geometrie statt der von Erdős vertretenen probabilistischen Methode und der sogenannten additiven Zahlentheorie zu. Pilatte ersetzte Zahlen durch Polynome und nutzte die neuesten Arbeiten von Mathematikern der Columbia University. Durch die Kombination dieser Ideen gelang es Pilatte, eine Sidon-Menge zu schaffen, die dicht genug und zufällig genug war, um schließlich Erdős‘ ursprüngliches Problem zu lösen.

Pilattes Arbeit stützte sich auf die Entdeckungen vieler Mathematiker verschiedener Disziplinen und kombinierte sogar scheinbar nicht miteinander verbundene Bereiche der Mathematik, um die Frage zu beantworten. „Es ist cool, dass diese sehr tiefgreifenden Techniken aus der algebraischen Geometrie auch für diese einfache und konkrete Frage zu Zahlenmengen verwendet werden können“, sagte Pilatte gegenüber dem Quanta Magazine.

Und damit erweist sich eine weitere „unmögliche“ Mathematikfrage als durchaus möglich.

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